نصائح مفيدة

حل المعادلات التربيعية

تعتبر هذه المقالة المعادلة التربيعية القياسية للنموذج:

تستمد المقالة صيغة لجذور المعادلة التربيعية بطريقة تكملها القيم المربعة والكاملة بدلاً من ذلك ل, ب, ج لن يكون بديلا.

ax 2 + bx + c = 0 2 اقسم طرفي المعادلة على و.

x 2 + (b / a) x + c / a = 0 3 اطرح ق / أ من جانبي المعادلة.

x 2 + (b / a) x = -c / a 4 اقسم المعامل على س (ب / أ) بنسبة 2 ، ثم مربع النتيجة. أضف النتيجة لكلا طرفي المعادلة.

x 2 + (b / a) x + b 2 / 4a 2 = -c / a + b 2 / 4a 2 5 بسّط التعبير عن طريق تقسيم الجانب الأيسر وإضافة المصطلحات على الجانب الأيمن (أوجد أولاً المقام المشترك).

(x + b / 2a) (x + b / 2a) = (-4ac / 4a 2) + (b 2 / 4a 2)

(x + b / 2a) 2 = (b 2 - 4ac) / 4a 2 6 استخرج الجذر التربيعي من كل طرف من المعادلة.

√ ((x + b / 2a) 2) = ± √ ((b 2 - 4ac) / 4a 2)

x + b / 2a = ± √ (b 2 - 4ac) / 2a 7 اطرح ب / 2 أ من كلا الجانبين وتحصل على صيغة جذور المعادلة التربيعية.

التمايز

دع المعادلة التربيعية فأس 2 + bx + c = 0. ثم - هذا هو فقط العدد D = b 2 - 4 ac.

يجب أن تعرف هذه الصيغة عن ظهر قلب. من أين يأتي الآن غير مهم. شيء آخر مهم: من خلال علامة المميّز ، يمكنك تحديد عدد جذور المعادلة التربيعية. وهي:

  1. إذا كانت D D = 0 ، فهناك جذر واحد بالضبط ،
  2. إذا كان D> 0 ، سيكون هناك جذران.

ملاحظة: يشير المُميِّز إلى عدد الجذور ، وليس على الإطلاق علاماتهم ، كما يعتقد البعض لسبب ما. ألقِ نظرة على الأمثلة وستفهم كل شيء بنفسك:

المهمة. كم من الجذور لديها معادلات من الدرجة الثانية:

  1. × 2 - 8 × + 12 = 0 ،
  2. 5 × 2 + 3 × + 7 = 0 ،
  3. × 2 - 6 × + 9 = 0.

نكتب معاملات للمعادلة الأولى ونجد تمييز:
a = 1 ، b = −8 ، c = 12 ،
D = (−8) 2 - 4 · 1 · 12 = 64 - 48 = 16

لذلك ، فإن المُميِّز إيجابي ، وبالتالي فإن المعادلة لها جذور مختلفة. بالمثل ، نحلل المعادلة الثانية:
أ = 5 ، ب = 3 ، ج = 7 ،
D = 3 2 - 4 · 5 · 7 = 9 - 140 = 31131.

والمميز هو سلبي ، لا توجد جذور. تبقى المعادلة الأخيرة:
a = 1 ، b = −6 ، c = 9 ،
D = (−6) 2 - 4 · 1 · 9 = 36 - 36 = 0.

المتميز هو صفر - الجذر سيكون واحد.

لاحظ أنه تمت كتابة المعاملات لكل معادلة. نعم ، إنه وقت طويل ، نعم ، إنه ممل - لكنك لن تخطئ في المعاملات وترتكب أخطاء سخيفة. اختر لنفسك: السرعة أو الجودة.

بالمناسبة ، إذا "أدخلت يدك" ، فلم تعد بحاجة إلى كتابة كل الاحتمالات. سوف تقوم بهذه العمليات في رأسك. يبدأ معظم الأشخاص في القيام بذلك في مكان ما بعد 50 إلى 70 معادلة حل - بشكل عام ، وليس كثيرًا.

جذور المعادلة التربيعية

الآن دعنا ننتقل إلى الحل. إذا كان المُميِّز هو D> 0 ، فيمكن إيجاد الجذور بواسطة الصيغ:

الصيغة الأساسية لجذور المعادلة التربيعية

عندما تكون D = 0 ، يمكنك استخدام أي من هذه الصيغ - ستحصل على نفس الرقم ، والذي سيكون هو الحل. أخيرًا ، إذا كانت D x 2 - 2 x - 3 = 0 ،

  • 15 - 2 × - × 2 = 0 ،
  • × 2 + 12 × + 36 = 0.
  • المعادلة الأولى:
    x 2 - 2 x - 3 = 0 ⇒ a = 1 ، b = −2 ، c = −3 ،
    D = (−2) 2 - 4 · 1 · (−3) = 16.

    D> 0 ⇒ المعادلة لها جذور. العثور عليهم:

    المعادلة الثانية:
    15 - 2 × - × 2 = 0 ⇒ a = −1 ، b = −2 ، c = 15 ،
    D = (−2) 2 - 4 · (−1) · 15 = 64.

    D> 0 ⇒ للمعادلة مرة أخرى جذران. العثور عليها

    أخيرًا ، المعادلة الثالثة:
    x 2 + 12 x + 36 = 0 ⇒ a = 1 ، b = 12 ، c = 36 ،
    D = 12 2 - 4 · 1 · 36 = 0.

    D = 0 ⇒ المعادلة لها جذر واحد. يمكنك استخدام أي صيغة. على سبيل المثال ، الأول:

    كما ترون من الأمثلة ، كل شيء بسيط للغاية. إذا كنت تعرف الصيغ وتكون قادرًا على الاعتماد ، فلن تكون هناك مشاكل. في معظم الأحيان ، تحدث أخطاء عند استبدال المعاملات السلبية في الصيغة. هنا مرة أخرى ، ستساعد التقنية الموضحة أعلاه: النظر في الصيغة حرفيًا ، ثم اكتب كل خطوة - وسرعان ما تخلص من الأخطاء.

    معادلات من الدرجة الثانية غير كاملة

    يحدث أن المعادلة التربيعية تختلف إلى حد ما عما يرد في التعريف. على سبيل المثال:

    من السهل ملاحظة أن أحد المصطلحات غائب في هذه المعادلات. هذه المعادلات التربيعية أسهل في حلها من المعادلات القياسية: فهي لا تحتاج حتى إلى التفكير في التمييز. لذلك ، نقدم مفهوم جديد:

    يتم استدعاء فأس المعادلة 2 + bx + c = 0 إذا كانت b = 0 أو c = 0 ، على سبيل المثال معامل المتغير x أو العنصر الحر هو صفر.

    بالطبع ، هناك حالة صعبة للغاية عندما يكون كلا المعاملتين مساوياً للصفر: b = c = 0. في هذه الحالة ، تأخذ المعادلة النموذج x 2 = 0. ومن الواضح أن هذه المعادلة لها جذر واحد: x = 0.

    النظر في الحالات المتبقية. دع b = 0 ، ثم نحصل على معادلة غير كاملة من الفأس النموذجي 2 + c = 0. نقوم بتحويله قليلاً:

    حل المعادلة التربيعية غير المكتملة

    بما أن الجذر التربيعي الحسابي موجود فقط من عدد غير سالب ، فإن المساواة الأخيرة تكون منطقية فقط لـ (- c / a) ≥ 0. الخلاصة:

    1. إذا كان عدم المساواة (- c / a) ≥ 0 ثابتًا في معادلة من الدرجة الثانية غير المكتملة للفأس النموذج 2 + c = 0 ، فسيكون هناك جذران. يتم إعطاء الصيغة أعلاه
    2. إذا كان (- c / a) c / a) ≥ 0. يكفي التعبير عن الكمية × 2 ومعرفة ما يوجد على الجانب الآخر من علامة المساواة. إذا كان هناك رقم موجب ، فسيكون هناك جذران. إذا كانت سلبية ، لن يكون هناك جذور على الإطلاق.

    الآن سنتعامل مع معادلات الفأس النموذجي 2 + bx = 0 ، حيث يكون العنصر الحر يساوي الصفر. كل شيء بسيط هنا: سيكون هناك دائمًا جذران. يكفي عامل كثير الحدود:

    بين قوسين عامل مشترك

    المنتج هو صفر عندما يكون أحد العوامل على الأقل صفر. من هنا هي الجذور. في الختام ، نقوم بتحليل العديد من هذه المعادلات:

    المهمة. حل المعادلات التربيعية:

    x 2 - 7 x = 0 ⇒ x · (x - 7) = 0 ⇒ x 1 = 0 ، س 2 = −(−7)/1 = 7.

    5 x 2 + 30 = 0 ⇒ 5 x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. لا توجد جذور ، لأنه لا يمكن أن يكون المربع مساويًا لعدد سالب.

    4 x 2 - 9 = 0 ⇒ 4 x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1،5 ، س 2 = −1,5.

    أمثلة على المعادلات التربيعية

    • 5 × 2 - 14 × + 17 = 0
    • 2x 2 + x +
      1
      3
      = 0
    • × 2 + 0.25x = 0
    • × 2 - 8 = 0

    للعثور على "a" و "b" و "c" ، يلزمك مقارنة المعادلة بالشكل العام للمعادلة التربيعية "ax 2 + bx + c = 0".

    هيا نمارس تحديد المعاملات a و b و c في المعادلات التربيعية.

    معادلةمعاملات
    5 × 2 - 14 × + 17 = 0
    • أ = 5
    • ب = −14
    • ج = 17
    x7x 2 - 13x + 8 = 0
    • = −7
    • ب = −13
    • ج = 8
    2x 2 + x +
    1
    3
    = 0
    • a = −1
    • ب = 1
    • ج =
      1
      3
    × 2 + 0.25x = 0
    • أ = 1
    • ب = 0.25
    • ج = 0
    × 2 - 8 = 0
    • أ = 1
    • ب = 0
    • ج = −8

    كيفية حل المعادلات التربيعية

    على عكس المعادلات الخطية ، يتم استخدام صيغة خاصة لإيجاد الجذور لحل المعادلات التربيعية.

    لحل المعادلة التربيعية التي تحتاجها:

    • اختزل المعادلة التربيعية إلى النموذج العام "ax 2 + bx + c = 0". وهذا هو ، يجب أن تبقى "0" فقط على الجانب الأيمن ،
    • استخدم صيغة الجذور:

    س1,2 =
    −b ± √ b 2 - 4ac
    2A

    دعونا نلقي نظرة على مثال عن كيفية تطبيق المعادلة للعثور على جذور المعادلة التربيعية. حل المعادلة التربيعية.

    تم بالفعل تخفيض المعادلة "x 2 - 3x - 4 = 0" إلى النموذج العام "ax 2 + bx + c = 0" ولا تتطلب تبسيطات إضافية. لحلها ، نحتاج فقط إلى تطبيق الصيغة لإيجاد جذور المعادلة التربيعية.

    حدد المعاملات "أ" و "ب" و "ج" لهذه المعادلة.

    معادلةمعاملات
    × 2 - 3x - 4 = 0
    • أ = 1
    • ب = −3
    • ج = −4

    استبدالها في الصيغة وإيجاد الجذور.

    × 2 - 3x - 4 = 0
    س1,2 =
    −b ± √ b 2 - 4ac
    2A

    س1,2 =
    −(−3) ± √ (−3) 2 − 4 · 1· (−4)
    2 · 1

    س1,2 =
    3 ± √ 9 + 16
    2

    س1,2 =
    3 ± √ 25
    2

    س1,2 =
    3 ± 5
    2

    س1 =
    3 + 5
    2
    س2 =
    3 − 5
    2
    س1 =
    8
    2
    س2 =
    −2
    2
    س1 = 4س2 = −1

    الجواب: س1 = 4 ، س2 = −1

    تأكد من حفظ الصيغة للعثور على الجذور.

    س1,2 =
    −b ± √ b 2 - 4ac
    2A

    بمساعدتها ، يتم حل أي معادلة من الدرجة الثانية.

    في صيغة "س1,2 =
    −b ± √ b 2 - 4ac
    2A
    »في كثير من الأحيان استبدال التعبير الراديكالي
    "B 2 - 4ac" في الحرف "D" ويسمى التمييز. يناقش مفهوم التمييز بمزيد من التفصيل في الدرس "ما هو التمييز".

    النظر في مثال آخر لمعادلة من الدرجة الثانية.

    في هذا النموذج ، يعد تحديد المعاملات "a" و "b" و "c" أمرًا صعبًا إلى حد ما. لنجلب أولاً المعادلة إلى النموذج العام "ax 2 + bx + c = 0".

    الآن يمكنك استخدام الصيغة للجذور.

    س1,2 =
    −(−6) ± √ (−6) 2 − 4 · 1 · 9
    2 · 1

    س1,2 =
    6 ± √ 36 − 36
    2

    س1,2 =
    6 ± √ 0
    2

    س1,2 =
    6 ± 0
    2

    س =
    6
    2

    س = 3
    الإجابة: س = 3

    هناك أوقات لا توجد فيها جذور في المعادلات التربيعية. ينشأ هذا الموقف عندما يظهر رقم سالب في الصيغة أسفل الجذر.

    نتذكر من تعريف الجذر التربيعي أنه من المستحيل استخراج الجذر التربيعي من رقم سالب.

    النظر في مثال لمعادلة من الدرجة الثانية التي ليس لها جذور.

    5x 2 + 2x = - 3
    5x 2 + 2x + 3 = 0
    س1,2 =
    −2 ± √ 2 2 − 4 · 3 · 5
    2 · 5

    س1,2 =
    −2 ± √ 4 − 60
    10

    س1,2 =
    −2 ± √ −56
    10

    الجواب: لا توجد جذور صالحة.

    لذلك ، حصلنا على موقف حيث يوجد رقم سالب تحت الجذر. هذا يعني أنه لا توجد جذور في المعادلة. لذلك ، ردا على ذلك ، كتبنا "لا جذور حقيقية".

    ماذا تعني عبارة "لا جذور حقيقية"؟ لماذا لا يمكنك فقط كتابة "لا جذور"؟

    في الواقع ، هناك جذور في مثل هذه الحالات ، لكنهم لا يذهبون إلى المناهج الدراسية ، وبالتالي ، فإننا نرد أنه لا توجد جذور بين الأعداد الحقيقية. بمعنى آخر ، "لا توجد جذور حقيقية".

    شاهد الفيديو: الاعداد المركبة محاضرة 11المعادلة التربيعيةالاستاذ حيدر وليد (شهر نوفمبر 2019).